Desacanggu.id – Pernahkah pada suatu saat merasa bingung untuk menentukan batas maksimum maupun batas minimum dari sesuatu hal. Jika iya, permasalahan tersebut dapat diatasi dengan suatu metode yang disebut dengan program linear.

Pemograman linear seperti itu, meskipun lebih dikenal dalam materi pelajaran matematika, namun sebenarnya sering juga diterapkan pada berbagai bidang kehidupan. Banyak perusahaan yang menggunakan metode linear ini sebagai teknik optimasi produksi mereka.

Manfaat metode linear pada bidang farmasi juga cukup penting, misalnya untuk menentukan serta membuat model optimasi produksi obat-obatan. Jadi, secara umum, pemograman linear dilakukan sebagai model optimasi pada hampir semua bidang dalam kehidupan sehari-hari.

Apa Itu Program Linear?

Contents show

Menurut yang tertulis dalam buku Kompetensi Matematika Jilid 2, karangan Johanes S.Pd, pemograman linear adalah suatu metode matematika yang bentuknya berupa model dan terdiri dari pertidaksamaan linear.

Masih menurut buku yang sama, metode matematika tersebut dapat digunakan sebagai suatu cara untuk memecahkan berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Mengacu pada pengertian di atas, pemograman linear dibedakan menjadi dua bagian sebagai berikut.

1. Fungsi Obyektif atau Fungsi Tujuan

Fungsi obyektif pada program linear berarti suatu fungsi yang nilainya akan dioptimalkan, dan bisa bernilai minimum maupun maksimum. Nilai fungsi obyektif tersebut tergantung dan dipengaruhi oleh kasus yang menyertainya.

Contohnya, kalau fungsi obyektif yang dimaksud adalah biaya produksi, maka nilainya akan dicari yang minimum. Sedangkan jika fungsi obyektif yang dituju adalah profit atau laba, maka nilainya dicari yang maksimum.

Bentuk fungsi obyektif adalah nilai maksimum atau minimum, yang dilambangkan dengan f(x,y) = px+qy, dimana p dan q merupakan nilai konstanta.

2. Fungsi Kendala

Selain fungsi obyektif atau fungsi tujuan, pemograman linear juga memiliki fungsi kendala. Pengertian fungsi kendala adalah batasan-batasan yang harus terpernuhi oleh perubah yang terdapat pada fungsi obyektif.

Bentuk umum fungsi kendala dinotasikan dengan :

ax + by ≤ m atau ax + by ≥ m

cx + dy ≤ n atau cx + dy ≥ n

x ≥ 0 ; y ≥ o atau x ≥ 0 ; y ≥ o

Terkait dengan fungsi kendala tersebut, maka karakteristik yang terdapat pada program linear diantaranya yaitu :

Metode linear dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan dengan kendala yang berbentuk pertidaksamaan.
Metode linear dapat digunakan untuk mengatasi kendala yang jumlahnya banyak.
Metode linear hanya terbatas pada fungsi obyektif atau fungsi tujuan dan kendala linear saja.

Penerapan Metode Linear dengan Permodelan Matematika

Cukup banyak permasalahan kehidupan sehari-hari dalam berbagai bidang dapat diselesaikan dengan metode linear tersebut. Yang perlu diingat yaitu, untuk mengatasi persoalan pengoptimalan harus dilengkapi dengan kendala ataupun batasan yang diterjemahkan dalam pertidaksamaan linear.

Untuk menerjemahkannya, diperlukan suatu model matematika, yaitu uraian secara matematika dari fenomena yang terjadi di dunia nyata tersebut. Uraian matematis yang dimaksud biasanya menggunakan suatu fungsi atau persamaan.

Bagaimanakah langkah-langkah yang harus dilakukan untuk menerjemahkan persoalan kehidupan sehari-hari ke dalam suatu model matematika? Berikut ini adalah tahapan-tahapannya.

Tuliskan lebih dulu ketentuan-ketentuan yang digunakan pada sebuah tabel.
Buat permisalan bagi semua obyek yang belum diketahui menjadi bentuk variabel x dan y.
Buatlah sebuah sistem pertidaksamaan linear dari semua hal yang telah diketahui.
Tentukan fungsi obyektifnya.
Selesaikan model matematika yang ada untuk bisa mendapatkan berapa nilai optimum dari suatu fungsi obyektif.

Sebelum melakukan tahapan-tahapan penghitungan di atas, ingat bahwa model matematika dibagi menjadi dua, yaitu :

Fungsi obyektif, yaitu f(x,y) = px + qy
Syarat serta batasan yang berisi kendala-kendala yang harus dipenuhi baik oleh variabel x dan variabel y.

Mengacu pada langkah dan tahapan penerapan program linear pada model matematika di atas, supaya lebih jelas, simak ilustrasinya dalam persoalan sehari-hari berikut ini.

1. Ilustrasi I

Perusahaan garmen rumahan membuat 2 model kaos baru dengan 2 jenis bahan yang berbeda. Pada model pertama, digunakan komposisi bahan 1 dengan berat 300 gram dan bahan 2 sebanyak 100 gram.

Sementara itu, untuk model yang kedua, dibuat dari bahan 1 sebanyak 150 gram dan bahan 2 sebesar 50 gram.

Persediaan bahan yang tersimpan di gudang terdiri dari 80 kg bahan 1 dan 65 kg bahan 2. Harga baju model pertama adalah Rp250.000, model 2 Rp300.000. Jika disederhanakan ke dalam bentuk tabel, maka akan menjadi sebagai berikut :

Jenis Kaos	Bahan 1	Bahan 2	Harga Kaos	Jumlah Kaos
Model 1	300 gram	100 gram	250.000	x
Model 2	150 gram	50 gram	300.000	y
Stok bahan	80.000 gram	65.000 gram

Dengan melihat tabel tersebut, maka peubah dari jumlah optimal kaos model 1 disimbolkan dengan x, dan kaos model 2 adalah y. Sedangkan hasil penjualan optimal kaos adalah f(x,y) yaitu 250.000x + 300.000y. Selanjutnya model linear ini harus memenuhi syarat :

Jumlah maksimal dari bahan 1 yaitu 80.000 gram, maka 300x + 150y £000
Jumlah maksimal dari bahan 2 yaitu 65.000 gram, maka 100x + 50y £000
Setiap model 1 dan 2 harus bisa dibuat.

Model matematika untuk ilustrasi di atas untuk menentukan jumlah penjualan maksimum, yaitu :

Maksimum f(x,y) = 250.000x + 300.000y, dengan syarat :
300x + 150y £000
100x + 50y £000
x ³ 0
y ³ 0

2. Ilustrasi II

Sebuah butik kebaya mendapatkan pesanan baju pengantin dari bridal dengan model dan bahan yang berbeda. Model A dibuat dari bahan kain brokat 2 meter, kain tile 1 meter dan kain satin 1 meter.

Sedangkan model B menggunakan kain brokat 1 meter, kain tile 2 meter dan kain satin 3 meter. Stok bahan yang masih ada di gudang yaitu kain brokat 16 meter, kain tile 11 meter dan kain satin 15 meter. Keuntungan dari model A Rp3.000 per unit dan model B Rp5.000 per unit.

Tentukan berapa banyak jumlah kebaya yang harus dibuat agar bisa mendapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya.

Jawaban :

Pertama, buat dulu tabel berdasarkan ilustrasi di atas, yaitu sebagai berikut :

Bahan	Model A	Model B	Stok Bahan
Brokat	2 meter	1 meter	16 meter
Tile	1 meter	2 meter	11 meter
Satin	1 meter	3 meter	15 meter
Keuntungan	3.000	5.000

Dari tabel di atas, buat hitungan sebagai berikut :

Misalnya, jumlah kebaya model A yang akan dibuat sebanyak x unit dan model B sebanyak y unit, hitung dengan rumus :

F(x,y) = 3.000x + 5.000y

Kendala atau batasan yang dimiliki :

2x + 1y £ 16

1x + 2y £ 11

1x + 3y £ 15

x³ 0, y³0

Buat grafiknya, sebagai berikut :
Dari grafik di atas, didapatkan titik-titik ekstremnya, yaitu :

A(8, 0) titik potong garis 2x + y = 16 dengan sumbu X
B(7, 2) titik potong garis 2x + y = 16 dengan garis x + 2y = 11
C(3, 4) titik potong garis x + 2y = 11 dengan garis x + 3y = 15
D(0, 5) titik potong garis x + 3y = 15 dengan sumbu Y

Lakukan pengujian terhadap titik-titik ekstrem di atas dengan menggunakan fungsi objektif f(x, y) = 3.000x + 5.000y, hasilnya adalah :

f(A) = f(8, 0) = 3.000(8) + 5.000(0) = 24.000
f(B) = f(7, 2) = 3.000(7) + 5.000(2) = 31.000
f(C) = f(3, 4) = 3.000(3) + 5.000(4) = 29.000
f(D) = f(0, 5) = 3.000(0) + 5.000(5) = 25.000

Berdasarkan pada rumus perhitungan program linear di atas, maka didapatkan hasil bahwa untuk memperoleh keuntungan sebesar-besarnya, butik harus membuat kebaya model A sebanyak 7 unit dan model B sebanyak 2 unit.

Masih berdasarkan perhitungan di atas, dapat dilihat bahwa nilai keutungan maksimum yang diraih yaitu Rp31.000, sedangkan keuntungan minimumnya Rp24.000.

Comtoh Soal Program Linear

Agar siswa bisa lebih memahami penerapan program linear dalam kehidupan sehari-hari, simak contoh soal berikut ini.

Agus pergi ke supermarket untuk berbelanja kebutuhan harian. Barang-barang yang Agus beli yaitu mie instan dan kue kering. Jumlah barang dibeli Agus paling sedikit 10 buah, dimana mie instan maksimal 5 buah.

Harga mie instan Rp3.000 per buah dan kue kering Rp5.000 per bungkus. Agus mempunyai uang Rp100.000 untuk membeli barang-barang tersebut. Jika Agus membeli a mie instan dan b kue kering, tentukan bagaimana model matematikanya.

Jawaban :

Buat pemisalan dengan memasukkan fungsi sesuai cerita di atas, yaitu fungsi f untuk mie instan dan fungsi y untuk kue kering.
Tuliskan dalam rumusnya, yaitu :
Fungsi pembelian 3000x + 5000y = 100.000
Fungsi pembelian 3x + 5y = 100

Fungsi jumlah barang x + y ³ 10

Fungsi maksimal mie instan x £ 5
Bentuk model matematika dari program linear berdasarkan contoh cerita di atas telah ditemukan (i – iv)

Dengan mengamati beberapa ilustrasi di atas serta contoh soalmya, dapat dilihat bahwa memang metode linear dapat digunakan dalam berbagai bidang. Contohnya, pemograman linear dapat dipakai untuk menghitung jumlah keuntungan maksimum dan minimum dari suatu produk.

Artinya, materi tentang program linear sangat bermanfaat, bukan hanya sebatas dalam ilmu matematika saja, tetapi juga bidang-bidang lainnya. Perusahaan misalnya, bisa memperkirakan jumlah produk yang harus dibuat agar mendapatkan laba yang maksimal dengan metode linear.